微分ゼミ 2回目 (2017.10.19)

微分とは

下図を用いて，関数 \(y = f(x) \)の PQ での平均変化率，Pでの微分係数，Pで
の接線の関係を説明してください。

図には，説明に必要な適切な用語や記号や図を書き加えてください。

\(\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)\)
平均変化率 = \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \)
\(f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}\)
- Pでの微分係数の定義
  - 極限値が存在して，一意に決まること => 微分可能
- Pでの接線の傾きと一致
\(\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \{ \Delta y(x) = f(x+\Delta x) - f(x) \} \)
- => \(dy = f'(x) dx\)

下図を用いて，下記のことを説明してください。

図には，説明に必要な適切な用語や記号や図を書き加えてください。

曲線 \(f_1\) と曲線 \(f_2\) の式

本質は，1変数の関数に
- \(z = f_1(x) = \{f(x,y_0), y=y0 \} \) (平面の交わり)
- \(z = f_2(y) = \{f(x_0+\Delta{x},y), x=x0+\Delta{x}\} \) (平面と
  の交わり)
曲線 \(f_1\)の変化量 \(\Delta_{1}\)，曲線 \(f_2\)の変化量\(\Delta_{2}\) を表わす式。
- \(\Delta_{1} = f(x_0+\Delta{x},y_0) - f(x_0,y_0) \)
- \(\Delta_{2} = f(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y}) - f(x_0+\Delta{x},y_0) \)
偏微分係数との関係は？
- \(\lim_{\Delta{x} \rightarrow 0, \Delta{y} \rightarrow 0} \Delta{1} = f_y(x_0,y_0)dx \)
- \(\lim_{\Delta{x} \rightarrow 0, {\Delta{y} \rightarrow 0} \Delta{2} = f_y(x_0,y_0)dy \)
関数 \(z = f(x,y) \)の PR での変化量 \(\Delta{z}\)

グラフを展開してみると？

\(\Delta{z} = \Delta_{1} + \Delta_{2} \)
極限を取ることで全微分の式を説明してください。

\(\lim_{\Delta x \rightarrow 0, \Delta{y} \rightarrow 0} \{\Delta{z} = \Delta_{1} + \Delta_{2}\} \) => \(dz = f_x(x_0, y_0)dx + f_y(x_0, y_0)dy\)
- 接平面 \(z -z_0 = f_x(x_0, y_0)x + f_y(x_0, y_0)y\)上の微小変化を表す
- 微小変化の方向は無数にあり，下記ベクトルで表わされる
  
  \( \vec{dz} = dx \vec{x} + dy \vec{y} + dz \vec{z} \)
  
  \(f_x(x_0, y_0)\vec{dx} + f_y(x_0, y_0)\vec{dy}\)

下図を用いて，1変数関数の平均値の定理を説明してください。

図には，説明に必要な適切な用語や記号や図を書き加えてく
ださい。

平均値の定理は，何を意味していて，何故重要なのかを考えてください。

関数 \(y = f(x) = \sqrt{x}\) を考えます。
平均値の定理と\( f(9) = 3 \) であることを用いて，
\( f(10) = \sqrt{10} \) の近似値を求めてみてください。
平均値の定理から，

\( f(10) = f(9) + f'(9 + \theta \times(10-9)) \times (10-9)\)，\(0<=\theta<=1\) が成り立ちます.