微分ゼミ sqrt 10 (2017.11.09)

平均値の定理, \(f(b) = f(a) + f'(c)(b-a)\), \( a < c < b \) となる \(c\) が 存在する, を用い，\(f(x) = \sqrt{x}\) として，\(\sqrt{10}\) の近似値 を求めてみよう.

\( \sqrt{x}' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) なので， 平均値の定理より，

\begin{array}{lllll} \sqrt{10} & = & \sqrt{9} + \frac{1}{2\sqrt{c}} & = & 3 + \frac{1}{2\sqrt{c}} \end{array}

となる \( 9

\( 9 \frac{1}{2\sqrt{c}} > \frac{1}{2\sqrt{10}} \)なので，

\begin{array}{lllll} 3+\frac{1}{6} &>& \sqrt{10} &>& 3+\frac{1}{2\sqrt{10}} \end{array}

上式で，\(\sqrt{c}\)の第一近似 \(3+\frac{1}{6}\) が求まった。 そこで最右不等式の \(\sqrt{10}\) をこの値で置き代えると，

\begin{array}{lll} 3+\frac{1}{2\sqrt{10}} & > & 3+\frac{1}{2(3+\frac{1}{6})} = 3+\frac{3}{19} = \frac{60}{19} \end{array}

求まった近似値を2乗してみると:

\begin{array}{lll} (\frac{19}{6})^2 & = & (3.166667)^2 & = & 10.027778 \\ (\frac{60}{19})^2 & = & (3.1578947)^2 &= & 9.972299 \end{array}